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商品訊息描述: 暢銷書《一個數學家的嘆息》作者的最新力作！
還原數學的本質，就是一種好奇、探索、發現的過程。
近幾年來，保羅．拉克哈特的《一個數學家的嘆息》在數學圈子裡祕密流傳，直到成書出版後，更引爆了廣泛的好評，因為它批判了今日僵化的數學教育（背公式、大量的習題），忽略了帶領學生思考問題的過程；而且數學課程太片段化、瑣碎、缺乏脈絡。我們本來可以給孩子更好的數學體驗，讓他們喜歡上數學，產生好奇心，不是嗎？
在這本新書中，作者寫出了數學教育正向積極的一面，帶領我們體會，數學是一種充滿趣味的探索以及思考方式。
作者現身說法提出了他心目中的數學，應該是什麼樣子。他先談數學世界與現實世界有何不同，然後從三角形、圓、幾何、代數、三角函數、向量、到微積分，不斷地引導我們問「為什麼？」。
他和你說話，用平易近人的語氣，運用手繪的圖形，就像是自己在玩數學似的，呈現他心目中理想、有意義的數學問題，以及思考過程。他不會假裝數學很簡單，但也大方展現數學的美。在他筆下，複雜的數學概念變得符合直覺、容易掌握，數學概念不再是東一塊、西一塊，各個單元彼此可以連結，形成有意義的動人故事。他針對數學推理和古典幾何主題的討論很有意思，正呼應了他所堅信的：數學不僅是科學，也是藝術。
在這個新天地裡，漂亮的圖形和模式在我們的腦海中閃過，做出一些令人驚訝的事！當我們注意對稱性、圓形、圓柱、圓錐，會發現幾乎每個人都有辦法「做數學」，當我們一頭栽進去，盡情思考之後，將獲得極大的喜悅，並得到情感和美感上的回報。
【熱情推薦】
泛科學Pansci.tw 推薦
◎任維勇（北一女中數學教師）
◎洪萬生（師大數學系退休教授）
◎游森棚（師大數學系教授）
「無論你受過什麼樣的數學教育，或是沒有上過數學課，你都會從這本迷人的書中得到樂趣。只要你接受作者的邀請，浸淫在書裡散發出的數學感受中，並親自動手嘗試看看——不只是解題，更積極的，一面探索數學世界一面構思問題。」
——貝利．馬祖爾（Barry Mazur )，哈佛大學校聘數學教授
「這本書是一首情歌，一篇哲學宣言，以及關於做數學的甘苦，但甘甜占了大多數。」
——史蒂芬．史特格茲（Steven Strogatz），康乃爾大學講座教授
「充滿趣味和巧思的寫法，不僅讓數學不再令人感到害怕，也優雅地描繪出作者樂在其中的世界。」
——《出版人週刊》（Publishers Weekly）
目錄
推薦序 從「測量」看數學與數學之美 游森棚
推薦序 去掉條條框框，看見數學的本質 洪萬生
真實與想像
漫談數學問題
上篇 大小與形狀
我們一開始先談抽象幾何圖形；
對稱鋪磚和角度；
縮放和比例；
長度、面積與體積；
窮盡法及其結果；
多邊形和三角學；
圓錐曲線與射影幾何；
力學曲線。
下篇 時間與空間
這一篇涵蓋了數學上的運動；
以數值關係描述運動；
向量表示法和力學相對性；
速度；
微分法及其各式各樣的應用；
最後是給讀者的一點鼓勵。
英中譯名對照
名家推薦
從「測量」看數學與數學之美◎文∕游森棚（任教於國立台灣師範大學與空軍官校）
測量是人類的本能：到那棵樹有多遠？有幾頭獅子？我有多高多胖？測量也是人類的挑戰：那個池塘面積有多大？海岸線有多長？下一次的日蝕是什麼時候？
讀者手上的這本書《這才是數學》，原文的書名就是「測量」(Measurement)。這本書用「測量」為經，帶領讀者穿越時光隧道，縱覽了從古希臘時代開始，一路到微積分的數學。
這本書的作者Paul Lockhart曾是幾何學家，寫過幾篇相當好的學術論文，並且曾在名校布朗大學任教。2000年起他離開學術界，到紐約布魯克林的Saint Ann's中學教書。他感嘆美國中小學的數學教學現場光怪陸離，根本摧毀了學生對數學的熱情與想像力，於是寫下了一份手稿「一位數學家的嘆息」（A Mathematician’s Lament），這份有名的手稿先在數學圈中流傳，而後於2009年出版。這本《Measurement》是他最新的，也是談數學與數學教育的科普書籍。
這是一本相當特別的數學科普書。不少數學科普書籍因為讀者程度的設定，常常花大量的時間在打轉：或者編造數學問題的情境；或者鋪陳數學家的生平，怪癖，或軼事。但是這些故事通常和「數學」本身沒有關係。這本書不然。作者非常明白地告訴讀者，他只談數學：數學的發現，數學的內容，數學為何美麗。
作者開宗明義說，數學世界只存在於心智中，點就是一個點，線就是一條完美的線，圓就是一個完美的圓，不像現實世界充滿了近似值。在這個世界中，你可以盡情玩耍，觀察後發現一些現象，然後做出猜測，然後證明，這一路的過程正是數學迷人的原因。更神奇的是，一旦論證是對的，所有的發現就是斬釘截鐵，就變成絕對正確的真理：三角形的三條中線就是會交於一點，直角三角形的兩短邊的平方和就剛好等於斜邊的平方和。作者雖未言說，但這正是柏拉圖的思想：在理型世界中，各種關係是永恆不變的，是絕對的真理。
作者帶領我們從簡單的形狀開始測量，線段的長度，三角形的角度和，多邊形與多面體。為了測量正方形的對角線就出現了無理數。為了測量圓周長出現了超越數。接著是面積，體積，開始有代數，三角，圓錐曲線和射影幾何。把曲線看成是質點的運動軌跡，就出現了函數，速度，微分，積分。最終停在指數與對數。
數學的發展一日千里，當代數學百家爭鳴，不僅有抽象數學的理論高度，更有應用數學的興起，與跨領域的整合。本書的題材從規則形狀的測量一路談到微積分，取材相當豐富，卻也是相當古典的，事實上，這離當代的數學的研究對象已經非常遙遠了。但是正因為這些是古典題材，更足以讓我們依循著古人的發現腳步，一窺數學的堂奧。但本書不掉書袋，娓娓道來，雖沒有太多人名和歷史故事，實際上卻橫跨了數學史數千年的發展，份量已經足以開一門數學史的課程了。
我極佩服作者能夠信手拈來，用非常直觀的方法把許多概念講得清清楚楚，用簡單的例子說明重要概念是怎麼成形的，以及一些根本的結果為什麼會是對的。比如說：怎麼對小學生解釋為什麼三角形的面積剛好是底乘以高的一半；怎麼對國中生解釋圓的面積是圓周率乘以半徑的平方；為什麼圓，橢圓，拋物線，雙曲線在射影之下是同一件事；微分公式是怎麼來的。有好多個結果解釋得非常漂亮，我自己都眼睛一亮。
作者堅持只談數學本身，這也是不少數學家面對數學教育的堅持，輔助的教學方法不能反客為主。此外，正如同欣賞音樂或文學要先能理解音樂或文學的語言：要能欣賞數學，也需要理解數學的語言，否則終究是碰不到核心。作者期待讀者也一起「動手做」，才能體會由發現到證明的數學之美，於是文中穿插了許多有趣的習題 (有些還不太容易)。以上這些，對於讀者都是不小的挑戰。
但無論如何，作者努力向我們傳達他的信念：數學是來自於觀察，發現，證明的心智活動，它的的美麗來自自身，來自過程中滿溢的想像與創造，以及對簡單真理的渴望。
數學是科學的根本，牽涉到邏輯思考，抽象力，想像力，觀察與創造或審美等等最基本重要的素養。但是台灣的教學現場上，教師常常急著呈現結果，而忘了帶領學生探索概念的形成，以及體會發現的樂趣。不少學生以為數學就是背公式解類似題，完全無法體會有何樂趣可言。更糟糕的是這就磨掉了觀察力與創造力，以及主動探索的能力——這真是令人遺憾的事。希望這本書的出版，能帶給第一線的數學教師們一些鼓舞與啟示。
去掉條條框框，看見數學的本質◎文∕洪萬生（國立台灣師範大學數學系退休教授）
何謂數學？保羅．拉克哈特現身說法，利用本書來解說他的答案：數學是一門研究模式的科學（science of pattern）。
不過，想要回答此一問題，我們也可以簡短回顧這種知識活動的歷史軌跡。考察古埃及、巴比倫乃至中國的數學的發展歷程，到公元前500年左右，所謂數學是指與數目相關的一種學問。以中國漢代數學經典《九章算術》為例，數學所指涉的活動幾乎都以「算術」為主。顯然，它的內容以實用為依歸，至於方法則依循「食譜」的特色：「對一個數目這樣做、那樣做，那麼，你將會得到答案。」
從大約公元前500年到公元300年間，是希臘數學的輝煌時期。古希臘的數學家主要關心幾何學，而且訴諸於嚴密推理與形式證明，以建立牢固的數學知識結構。因此，對於古希臘人而言，除了研究數目之外，數學主要是有關形狀的一門學問。
儘管如此，到十七世紀為止，數學大都侷限於計算、度量和形狀之描述的靜態問題。相對地，牛頓與萊布尼茲在各自獨立發明的微積分這一門學問中，引進處理運動和變化的方法之後，數學家終於可以研究行星的運行、地球的落體運動、液體的流動、氣體的擴散、電力和磁力、飛行，乃至於動植物的生長等等自然現象。因此，在這兩位發明微積分的偉大數學家之後，數學變成了研究數目、形狀、運動、變化以及空間的一門學問。
不過，大約十八世紀中葉之後，有感於微積分的無遠弗屆威力，數學家著手瞭解其背後的原因究竟，從而對數學知識本身產生了遞增的興趣。於是，古希臘形式證明的傳統，捲土重來掌握了優勢。因此，到了十九世紀末為止，數學已經成為有關數目、形狀、運動、變化、空間、以及研究數學的工具的一門學問了。
在最近的四十年間，數學家對於「何謂數學」之說法，則一如前述：數學是研究模式的一門科學。誠如拉克哈特指出，數學家的職責就是探索或檢視抽象的模式。這些模式可以是真實存在或想像的、視覺性或心智性的、靜態或動態的、定性或定量的、純粹功利或有點超乎娛樂趣味的。它們可以源自我們的周遭世界，或者源自心靈的內部運作。不同種類的模式當然引出不同的數學分支，譬如說吧，幾何學研究形狀的模式；微積分允許我們處理運動的模式。而這兩種模式，正是拉克哈特在本書中現身說法之主要依據。
針對幾何學研究，拉克哈特強調它「與其說是關於形狀本身，不如說是關於定義形狀的遣詞用字模式（vocal pattern）。幾何的中心問題，是抓住這些模式並做出量度——這些數本身，也必須具有遣詞用字模式。」至於在本書下篇中，作者引進微（積）分方法，部分原因顯然出自對比（量度）方法論的考量。請看拉克哈特如何說明：「我總是喜歡拿古代研究幾何量度的方式，來和近代的研究方式比較一下。希臘古典想法是把量度按住，然後做分割；十七世紀的方法則是任它四處跑，觀察它的變化。」儘管如此，他在說明如何「量度」圓面積時，還是指出古典方法（如窮盡法）的深刻動人：「我們做的近似值並不只是少少幾個，而是無窮多個。我們其實做了一連串無止境的近似值，一次比一次接近，而從這些近似值可以看出一種模式，告訴我們最終會趨向什麼結果。換句話說，透露出某種模式的無窮多個『謊言』（lies），竟能告訴我們真理。」
對於拉克哈特來說，模式之為用大矣！在說明餘弦定律針對銳角、直角與鈍角三角形都有效時，拉克哈特強調：「要讓模式來決定我們對於意義的選擇。數學這門學問就是圍繞這個主題；我們甚至可以說，這是這門藝術的本質——聽從模式，來調整自己的定義和直觀。」
我希望上述簡短的說明及引述，多少可以傳達我如何喜愛這一本數學普及著作。事實上，作者罕見的敘事功力，讓本書處處洋溢著極其睿智的洞識，譬如在說明餘弦定律的意義時，拉克哈特就指出：「這個公式告訴我們一件事：角度與長度彼此沒有直接關係；角度必須透過餘弦，來間接傳遞訊息。就好像角度需要一位裝扮成餘弦的律師，代替它們去和長度打交道。角度與長度身處不同的世界，說著不同的語言。正弦和餘弦擔任字典的角色，把角度的語言轉換成長度語言。」我想一般的數學老師大概都能說出上引文字上半部分的含意，但是，下半部分的比喻，恐怕就不那麼容易想得到了。
其實，拉克哈特針對證明vs.敘事，也有著十分精彩的比喻：「數學證明就像在說故事。題目中的元素就是人物角色，故事情節則由你決定。」這是因為「就像任何一篇文學小說，我們的目標是寫出在陳述上令人信服的故事。」而「在數學上，這表示情節不僅要合乎邏輯，還必須簡明而優雅。沒有人喜歡看拐彎抹角又複雜的證明。我們當然想看到理性的思路，但也希望感受到美的震懾。一個證明應該兼顧美感與邏輯。」
總之，本書一如作者稍早出版的《一位數學家的嘆息》，十分坦誠且帶有強烈的個人風格。然而，對比前書的教育改革之基進主張，本書完全著重在數學探險之旅的驚喜與樂趣。儘管作者所舉的案例都取自古典數學（尤其是古希臘幾何學），不過，其論述之直指核心，以及敘事之詩意想像，都讓本書成為中學數學普及讀物的上上之選。因此，我要向大學數學通識師生與中學數學師生鄭重推薦本書，當你有機會閱讀本書時，你一定會發現：原來數學可以這樣學習！至於一般讀者呢，接觸本書一定可以體會：你在過往的數學知識活動中，究竟錯過了什麼！
內文試閱
真實與想像
現實世界有很多種。其中一種，當然是我們身處的實體世界。再來就是那些和實體世界非常類似的想像世界，譬如那個「一切如常而且我五年級那年並沒有尿在褲子上」的世界，或是「同車黑髮正妹轉頭跟我交談，最後我們墜入愛河」的那個世界。相信我，這種想像中的現實世界有一大堆，但這些與我的主題無關。
我想談一種完全不同的世界，我準備稱呼它「數學實在」（mathematical reality）。我的心智可以看到一種世界，美麗的幾何形狀與模式翱翔其間，做出讓我驚嘆的有趣行徑。這個世界很讚，我真的很喜歡。
問題是，實體世界是個災難。它太複雜，一切事物都不像表面上那樣。物體熱脹冷縮，原子不時飛舞。尤其是，沒有哪樣東西可以真正測量得出來。我們不知道一根草的精確長度。這個宇宙中的任何一個量測值，必定都是近似值。這沒什麼不好，宇宙的本質就是如此。在這裡，最小的斑點不是點，最細的絲線也不是線。
至於數學實在，則是一種假想的世界，我可以隨自己高興，把它想像成簡單又美好。我可以擁有現實生活裡不可能擁有的完美事物。我手裡不可能握著一個圓，但腦袋裡可以，甚至還能度量這個圓。數學實在，是我自創出來的美麗境地，我可以去探訪、思索，與朋友一起討論。
大家之所以對實體世界感興趣，有很多理由。天文學、生物學、化學和其他領域的專家，一直在設法了解這個宇宙的運作，試圖描述它。
我則是想描述數學實在，想做出模式，搞清楚這些模式如何運作。這正是像我這樣的數學家努力做的事。
重點是，我要設法兼顧實體世界與數學實在，因為兩者都充滿了美和樂趣（也令人敬畏三分）。實體世界很重要，因為我身處其中，數學實在也很重要，因為就存在我腦袋裡。我這輩子就在設法同時擁有這兩樣美好的東西，你也一樣。
我寫這本書的構想，是要設計出各種模式。我們會做出幾何形狀與運動的模式，然後試著理解並度量這些模式。最後我們將看到美麗的東西！
但我也不想騙你：這不會是輕鬆愉快的任務。數學實在，是無邊無際的叢林，藏滿迷人的奧祕，不輕易讓人看見。你要有奮戰的心理準備，這會是一場知性與創造性的奮戰。說老實話，我不知道還有哪一項知識活動，這麼需要想像力、直覺和創造力。但我還是選擇了它，因為太喜歡而難以自拔。這片叢林讓人魂牽夢縈，一旦踏進去過，你就永遠忘不掉。
所以，我要邀你參與一場值回票價的冒險！我當然期望你也會愛上這片叢林，為它的魔力折服。我企圖在這本書傳達數學給我的感受，向你展示幾個最美、最令人興奮的數學發現。你不會看到注腳、參考出處之類的學術附注。這是我個人的表述。我只希望自己能設法用容易理解且又有趣的方式，傳遞這些有深度的迷人概念。
不過，這會是一趟緩慢的旅程。我並不想一路呵護你，不讓你接受真理的考驗，我也不打算為你可能面對的困境表示歉意。遇到新的概念，不妨就花幾小時甚至幾天來沉澱——有的概念起初可能歷經幾百年，才讓人接受呢。
我假定你熱愛美的事物，願意花心力理解。這趟旅程中，你需要具備的只有常識和好奇心。請放輕鬆！藝術是供人享受的，而這本書就在談藝術。數學不是賽跑或競賽，而是跟自己的想像力玩耍。希望你玩得開心！
漫談數學問題
何謂數學問題？對數學家而言，問題就是一種試探——去檢驗數學實在，看看它做出什麼行為。就好像「拿棍子戳一下」，看會發生什麼事。我們看到了數學實在的一小角，可能是幾何形狀的排列方式，或是數字模式之類的，想要進一步了解它背後的運作，於是我們戳它一下——只不過沒用手或是棍子，而是運用心智。
舉例來說，假設你在畫三角形，在這些三角形上進行各種實驗，譬如切割成小三角形，結果偶然發現了一件事：
你把各邊中點和它的對角連起來時，三條連線（中線）似乎全交於一點。又試了各式各樣的三角形，發現好像都會如此。這下子你遇到了一個謎團！但是我們先來釐清這個謎團的本質。它跟你畫在紙上的圖無關。用紙筆畫出的三角形能做或不能做些什麼，是和實體世界有關的科學問題。譬如你畫得很草率，三條中線就不會相交成一個點。我想你大可以畫得非常小心謹慎，再放在顯微鏡下看，但頂多只會把紙纖維和鉛筆的石墨成分看得更清楚，卻不會因此而更了解三角形。
真正的謎團，是環繞著這些過於完美、不存在於現實的三角形，而我們想問的問題是：在數學實在中，這三條完美的直線是否會交於一個完美的點。鉛筆或顯微鏡現在都派不上用場。（在整本書我會一直強調這種區別，可能會到讓你嫌囉唆的地步。）我們該如何解決這樣的問題？對於這樣的假想物件，有任何已知的知識嗎？是哪種形式的知識？
在繼續檢視這些提問之前，我們先花點時間，欣賞一下這道問題，領略何謂「數學實在」的本質。
我們撞見了一個密謀，顯然暗中有某種（未知的）結構上的運作，使這種情況發生。我認為這很了不起，但也有點嚇人。三角形究竟知道什麼事，是我們所不知道的？想到有這麼多漂亮而深奧的真理，等著我們去發現並融會貫通，有時還真讓我有點忐忑不安。
這個謎團究竟是什麼？我們想知道為什麼。為什麼一個三角形想這麼做？假如你是隨便把三根棍子丟到地上，棍子通常不會交疊在某一點，而是兩兩交叉，中間形成一個小三角形，不是嗎？
我們所尋找的是一種解釋。當然，倘若這現象根本不真確，我們可能就找不到解釋了。譬如我們只是一廂情願，或是被拙劣的繪圖手法給愚弄了。在實體世界裡有很多「敷衍之事」，所以也許只是三條直線相交成的那個三角形太小了，被鉛筆屑擋住，我們看不到罷了。但另一方面，它當然也有可能為真；它具備了數學家會去尋找的很多元素：自然性、優雅、簡單，以及某種令人信服的特質。所以它可能是對的，但問題同樣是：為什麼？
現在，學問來了。為了做出解釋，我們得創造某樣東西——要以某種方式建構一套論證或推理，可讓我們回答為什麼三角形會產生這種行為。這項任務非常艱鉅。其中一個理由是，若只是畫或做出一堆實體三角形，然後看它對不對，這樣是不夠的。這並不是在解釋，反而比較像是「近似驗證」。我們的疑問，是個更為嚴肅的哲學問題。
如果不知道為什麼三中線交於一點，又怎麼知道它們真的相交呢？「數學實在」不像實體世界，沒有實物可觀察。我們該如何了解一個純想像的領域？重點是，什麼是真確的，其實沒那麼重要。真正重要的是為什麼它為真。理由才是我們該問的。
我並不是要貶低人類感官的價值。我們十分需要繪圖、模型、影片等任何可取得的素材，來輔助直覺和想像。我們只需明白，這些東西並不是討論的主體，並不能告訴我們數學實在的真相。
所以，現在我們真的面臨困境了。我們認為自己可能發現了一個漂亮的真理，現在需要證明它。這就是數學家的工作，我希望你也樂在其中。
這件事做起來非常困難嗎？是很困難。有沒有撇步或方法可依循？並沒有。這是不折不扣的抽象藝術。藝術始終是一場奮戰。沒有什麼系統化的方法，可幫助你創作出充滿美感和意義的繪畫或雕塑作品，也沒有哪個方法可以讓你做出具備美感和意義的數學論證。很抱歉。數學是最難的藝術，這也是我喜愛它的原因之一。
所以對不起，我不能告訴你怎麼做，而且我不打算陪著你，或是在書末附上一堆提示或詳解。如果你打心底想畫一幅畫，畫布的背面也不會有畫帖讓你照著畫。假如你題目做到一半卡住了，苦思不得其解，那就歡迎你加入我們的行列。數學家也都不知道怎麼解自己的題目。如果能解開，就不叫做問題了！我們始終在未知的邊緣奮戰，我們總是陷入苦思，直到有所突破。我也希望你有很多突破，這感覺很棒。但是，做數學並沒有什麼特別的撇步，你必須多思考，希望靈感找上門。
不過我不會把你送進叢林之後就撒手不管。你必須帶著智慧和好奇心，這些都是你賴以求生的裝備，而我也許可以提供幾點普通的建議，替你指引方向。
我的第一個建議是：你自己訂的題目就是最好的題目。你是勇敢的心智探險家；這是你的腦袋和冒險。「數學實在」是你自己腦袋裡的產物，你想去探索就可以去。你的問題是什麼？目標在哪裡？我是很喜歡出題讓你思考，但這些僅只是拋磚引玉，讓你可以繼續自己栽種出叢林來。別怕解不開自己訂的題目——數學家經常如此。另外，盡量讓自己同時思考五或六個問題。假如你的頭反覆撞同一面牆，你會非常沮喪。（有五、六面牆輪流讓你撞，情況就好多了！）說正經的，一個問題做一段時間然後休息一下，總是有幫助的。
還有一個重要的建議是：互相幫忙。如果你有朋友也想要做數學，你們可以一起討論，分享當中的快樂和挫折，就像一起玩音樂一樣。有時候，我會耗六到八個小時與朋友研究一個題目，即使只有一丁點進展，我們還是會因為有另一個傻瓜作伴而感到很開心。
所以，難就難吧。盡量不要氣餒或是把失敗看得太嚴重。不只你無法理解數學實在，我們所有的人都跟你一樣。別擔心自己經驗不足或是「不夠格」。數學家的特質並不是學術技能或淵博知識，而是永不滿足的好奇心，以及對簡單之美的渴望。做自己，去你想去的地方。與其裹足不前、害怕挫折或是困惑，不如試著擁抱這份恐懼和神祕感，開開心心大玩特玩一番。是沒錯，你的想法會行不通，你的直覺會出錯，歡迎你加入我們的行列！我一天會有十幾個不成熟的想法，其他的數學家也都跟我一樣。
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